Corrélation de Pearson
Calculer la dépendance linéaire ($r$)
$$ r = \frac{\sum (x – \bar{x})(y – \bar{y})}{\sqrt{SS_x \cdot SS_y}} $$
Valeurs X (séparées par virgules)
Valeurs Y (séparées par virgules)
1
2
3
+
–
,
4
5
6
*
^
.
7
8
9
0
EFFACER
Coefficient de Corrélation ($r$)
Solution Détaillée
👨🏫
Par le Prof. David Anderson
Professeur de Statistiques | +20 ans d'exp.
"En 20 ans d'enseignement, la plus grande erreur que je vois n'est pas mathématique, mais logique. Beaucoup voient une corrélation élevée et en déduisent une causalité. Ils voient $r=0,9$ entre 'Ventes de glaces' et 'Attaques de requins' et pensent que les glaces attirent les requins (alerte spoil : c'est la chaleur de l'été). J'ai conçu ce Calculateur de Corrélation de Pearson pour qu'il soit votre 'détective relationnel', garantissant que vous interprétiez vos données avec toute la rigueur scientifique nécessaire."
Calculateur de Corrélation de Pearson (r) : Formule, P-Value et Interprétation
Calculez les relations linéaires, la signification et le coefficient de détermination
Le Calculateur de Corrélation de Pearson est l'outil statistique de référence pour mesurer la force et la direction de la relation linéaire entre deux variables continues. Le résultat, noté r de Pearson, varie de -1 à +1.
[Image of correlation coefficient plots]Que vous analysiez le lien entre les heures d'étude et les notes aux examens, ou entre les dépenses marketing et le chiffre d'affaires, cet outil fournit les trois indicateurs critiques : le Coefficient de corrélation (r), la P-Value (signification) et le Coefficient de détermination (R²).
1. La formule de corrélation de Pearson (r)
⚠️ Le point de vue du Prof : C'est une covariance standardisée
Considérez le r de Pearson comme la "covariance divisée par le produit des écarts-types". La covariance indique la direction ; la division par les écarts-types normalise le résultat pour qu'il soit toujours compris entre -1 et 1.
La formule mathématique du coefficient de corrélation produit-moment de Pearson est la suivante :
Équation du r de Pearson
$$ r = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i - \bar{x})^2 \sum(y_i - \bar{y})^2}} $$
Où $\bar{x}$ et $\bar{y}$ sont les moyennes des variables X et Y.
2. Guide d'interprétation : Quelle est la force de votre r ?
Vous avez calculé $r = 0,65$. Est-ce fort ? Faible ? Voici l'échelle standard utilisée en sciences sociales et en analyse commerciale.
-1,0 à -0,7
Forte Négative
Forte Négative
-0,7 à -0,3
Modérée Négative
Modérée Négative
-0,3 à +0,3
Faible / Nulle
Faible / Nulle
+0,3 à +0,7
Modérée Positive
Modérée Positive
+0,7 à +1,0
Forte Positive
Forte Positive
| Valeur de r | Force | Exemple concret |
|---|---|---|
| +1,0 | Positive parfaite | Température en Celsius vs Fahrenheit. |
| +0,8 | Forte positive | Taille vs Pointure de chaussures. |
| 0,0 | Aucune corrélation | Score de QI vs Code postal. |
| -0,6 | Modérée négative | Heures de TV regardées vs Moyenne scolaire. |
| -1,0 | Négative parfaite | Vitesse vs Temps de trajet pour une distance fixe. |
3. Comment calculer le r de Pearson (Étape par étape)
Vérifions manuellement la relation "Heures d'étude vs Note à l'examen".
X (Heures) : $\{1, 2, 3, 4, 5\}$
Y (Note) : $\{50, 60, 70, 80, 90\}$
Étape 1
Trouver les moyennes ($\bar{x}, \bar{y}$)
Calculez la moyenne pour X et Y.
$\bar{x} = 3$
$\bar{y} = 70$
$\bar{x} = 3$
$\bar{y} = 70$
Étape 2
Calculer les écarts
Soustrayez la moyenne de chaque point de donnée.
Ex : $1-3=-2$, $50-70=-20$.
Ex : $1-3=-2$, $50-70=-20$.
Étape 3
Multiplier et Sommer
Multipliez $(x-\bar{x})(y-\bar{y})$ et faites la somme. C'est le numérateur (Covariance).
Résultat : 200.
Résultat : 200.
4. Le grand débat : Pearson vs Spearman
C'est la question n°1 dans mes cours avancés. "Professeur, quelle corrélation dois-je utiliser ?"
📈 Pearson (r)
- Type : Test paramétrique.
- Relation : Mesure uniquement les relations linéaires (ligne droite).
- Exigences : Données normales. Très sensible aux valeurs aberrantes.
- Idéal pour : Mesures physiques (Taille vs Poids).
📊 Spearman (ρ)
- Type : Test non paramétrique (par rangs).
- Relation : Mesure les relations monotones (croissantes/décroissantes, même courbes).
- Exigences : Gère bien les valeurs aberrantes et les données non normales.
- Idéal pour : Enquêtes (échelles de Likert), Classements.
5. Au-delà du r : P-Value et R-Carré
Obtenir une valeur r n'est que le début. Vous avez besoin de contexte.
La P-Value (Signification)
La P-Value répond à la question : "Cette corrélation est-elle due au pur hasard ?"
• Si $p < 0,05$ : La corrélation est statistiquement significative.
• Si $p > 0,05$ : La corrélation peut être un bruit aléatoire (un r élevé sur un petit échantillon a souvent une P-value élevée).
Le coefficient de détermination (R²)
Si vous élevez r au carré, vous obtenez le R². Il indique le pourcentage de variance expliquée.
Exemple : Si la corrélation $r = 0,9$ entre Publicité et Ventes :
$R^2 = 0,81$. Cela signifie que 81 % de la fluctuation des ventes peut être expliquée par la publicité. Les 19 % restants dépendent d'autres facteurs.
6. Le coin FAQ du Professeur
La corrélation implique-t-elle la causalité ?
NON. C'est la règle d'or. Ce n'est pas parce que les "Ventes de glaces" et les "Décès par noyade" sont corrélés ($r=0,8$) que les glaces causent la noyade. Il existe une troisième variable (l'été/la chaleur) qui cause les deux. C'est ce qu'on appelle une corrélation fallacieuse.
Pourquoi ma corrélation est-elle de zéro ?
Un résultat de $r=0$ signifie seulement qu'il n'y a pas de relation linéaire. Les variables pourraient tout de même être liées ! Imaginez une forme en U (parabole). $Y = X^2$ a une corrélation de 0, mais est parfaitement prévisible. Tracez toujours vos données (Scatter Plot) en premier.
Comment calculer la corrélation de Pearson dans Excel ?
Utilisez la fonction
=CORREL(matrice1, matrice2) ou =PEARSON(matrice1, matrice2). Les deux renvoient le même résultat. Pour obtenir le $R^2$, utilisez =COEFFICIENT.DETERMINATION(matrice1, matrice2).
Références
- Cohen, J. (1988). Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences. (Standard pour l'interprétation de la taille d'effet de r).
- Pearson, K. (1895). "Note on Regression and Inheritance in the Case of Two Parents."
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. "Correlation Coefficient."
Identifiez vos relations
Entrez vos jeux de données X et Y pour détecter instantanément les corrélations.
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