Calculateur d’Homothétie
Dilate un point $(x, y)$ par un rapport de rapport $k$ à partir d’un centre $(c_x, c_y)$
$$ H_{(C, k)}(x, y) \rightarrow (x’, y’) $$
Point X
Point Y
Rapport (k)
Centre X
Centre Y
1
2
3
+
–
/
4
5
6
*
^
√
7
8
9
0
.
CLR
Nouvelle Coordonnée (Image)
Visualisation de la Transformation
Détails du Calcul
👨🏫
Par le Prof. David Anderson
Expert en Mathématiques | 20+ ans d’expérience
« En géométrie, les transformations sont un pilier du programme, et l’Homothétie est souvent celle qui pose le plus de problèmes—surtout quand le centre de la transformation n’est pas à l’origine ou qu’un rapport négatif est utilisé. J’ai conçu ce Calculateur d’Homothétie pour non seulement afficher les nouvelles coordonnées, mais aussi pour vous aider à visualiser l’agrandissement ou la réduction de manière intuitive. »
Le Guide Ultime de l’Homothétie Géométrique : Formules, Rapports et Coordonnées
Un guide complet pour le Lycée, la Prépa et la Géométrie Analytique
Bienvenue dans ce guide de référence sur l’Homothétie (parfois appelée dilatation). Contrairement aux transformations rigides qui déplacent simplement une figure (translation, rotation, symétrie), l’homothétie modifie la taille de la figure tout en conservant ses proportions. Elle crée des figures semblables. Tout repose sur deux paramètres : le Rapport ($k$) et le Centre d’homothétie.
⚠️ Précision de vocabulaire
En français, nous utilisons le terme Homothétie pour désigner une dilatation géométrique. Le terme dilatation est plus couramment utilisé en physique ou en médecine (ophtalmologie). Si vous étudiez les transformations géométriques dans un repère, vous êtes au bon endroit.
1. Les Formules de l’Homothétie
L’erreur la plus fréquente est d’oublier de prendre en compte le centre quand celui-ci n’est pas l’origine $(0,0)$.
Cas A : Le centre est l’origine (0,0)
$$ P'(kx, ky) $$
Multipliez simplement les coordonnées par le rapport $k$.
Cas B : Le centre est un point $C(a, b)$
$$ x’ = a + k(x – a) $$
$$ y’ = b + k(y – b) $$
Soustraction du centre $\to$ Mise à l’échelle $\to$ Ajout du centre.
2. Comprendre le Rapport d’Homothétie ($k$)
Le Rapport ($k$) détermine si votre figure va grandir, rétrécir ou se retourner.
| Valeur de $k$ | Type de Transformation | Effet Visuel |
|---|---|---|
| $|k| > 1$ | Agrandissement | La figure s’éloigne du centre et devient plus grande. |
| $|k| < 1$ | Réduction | La figure se rapproche du centre et devient plus petite. |
| $k = 1$ | Identité | Aucun changement. La figure reste identique. |
| $k < 0$ (Négatif) | Inversion | La figure subit une rotation de 180° par rapport au centre. |
3. Procédure : Comment transformer un polygone
Pour transformer une figure complexe (comme un triangle ou un rectangle), appliquez la formule à chaque sommet individuellement.
Étape 1
Listez les coordonnées $(x, y)$ de chaque sommet de la figure originale (l’antécédent).
Étape 2
Appliquez la formule de l’homothétie avec le rapport $k$ choisi pour chaque point.
Étape 3
Reliez les nouveaux points obtenus pour former l’image transformée.
4. Applications dans le Monde Réel
- 📸 Photographie et Design : Redimensionner une image sur un logiciel est une homothétie. Le centre est souvent le point d’ancrage que vous étirez.
- 🗺️ Cartographie (Cartes) : L’échelle d’une carte (ex: 1/25 000) est un rapport d’homothétie qui permet de représenter le monde réel en réduction.
5. FAQ : Questions du Professeur
Q : L’homothétie conserve-t-elle les aires ?
Non. Si les longueurs sont multipliées par $k$, l’aire de la figure est multipliée par $k^2$ et le volume (en 3D) par $k^3$.
Q : Qu’est-ce qu’un point invariant ?
C’est un point qui ne bouge pas lors de la transformation. Dans une homothétie, le seul point invariant est le centre de l’homothétie.
Références et lectures conseillées
- Mathématiques Cycle 4 : Les transformations du plan.
- Khan Academy : Introduction aux homothéties et centres de transformation.
- Wolfram MathWorld : « Homothety » (Définition formelle).
Calculez vos coordonnées instantanément
Ne faites plus d’erreurs avec la formule $x’ = a + k(x-a)$. Saisissez vos points et visualisez la transformation.
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