Calculadora de Factorización Prima
Descompón un número entero en sus factores primos
$$ n = ? $$
Introduce un número entero
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9
CLR
0
⌫
Forma Canónica
División Paso a Paso
👨🏫
Por el Prof. David Anderson
Profesor de Matemáticas | 20+ Años de Exp.
«Imagina que los números son como estructuras de Lego. Algunos, como el 2, 3 o 5, son ladrillos individuales (Números Primos). Otros, como el 12 o el 60, son estructuras construidas con esos ladrillos (Números Compuestos). La Factorización Prima es el arte de desarmar la estructura hasta volver a sus ladrillos originales. En mis 20 años de enseñanza, he visto a estudiantes confundir ‘Factores’ con ‘Factores Primos’ constantemente. Hoy vamos a corregir eso — y dibujaremos algunos árboles hermosos en el camino.»
Calculadora de Factorización Prima: La Guía del Anatomista de Números
Árboles de Factores, Formas Canónicas y el Teorema Fundamental de la Aritmética
La Calculadora de Factorización Prima descompone cualquier número entero compuesto en un producto de números primos. Este proceso revela el «ADN» del número. Ya sea que estés simplificando fracciones, buscando el Máximo Común Divisor (MCD), el Mínimo Común Múltiplo (mcm), o estudiando criptografía, esta es la herramienta fundamental que necesitas.
A diferencia de una calculadora simple, esta herramienta proporciona la Forma Exponencial (ej. $2^3 \times 3$) y visualiza el proceso usando un Árbol de Factores.
$$ n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_k^{a_k} $$
[Image of prime factorization formula]
Representación Canónica: Escribir un número como producto de primos elevados a potencias (ej. $12 = 2^2 \times 3$).
1. El Visualizador de Árbol de Factores
La mejor manera de entender la factorización de enteros es visualmente. Veamos el número 60. Seguimos dividiéndolo hasta llegar a «callejones sin salida»: los números primos.
60
6
2
3
10
2
5
*Los nodos azules son Números Primos (Hojas). Los nodos blancos son Compuestos.*
Resultado: $2 \times 3 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$
2. Diferencia Crucial: Todos los Factores vs. Factores Primos
Este es el error número 1 en los exámenes. No confundas la lista de todos los divisores con los bloques de construcción. Esta tabla explica la diferencia claramente.
| Propiedad | Todos los Factores (Divisores) | Factores Primos (Descomposición) |
|---|---|---|
| Definición | Cualquier número que divide a $n$ exactamente. | Solo números primos que al multiplicarse dan $n$. |
| ¿Incluye el 1? | SÍ (el 1 es factor de todo). | NO (el 1 no es primo). |
| ¿Incluye Compuestos? | SÍ. | NO. |
| Ejemplo (12) | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 2, 2, 3 (o $2^2 \times 3$) |
3. Método 1: El Método de la Escalera (Paso a Paso)
Aunque los árboles de factores son visuales, el Método de la Escalera (también llamado división sucesiva) es más limpio, lineal y menos propenso a errores de organización.
Paso 1 Empieza por lo pequeño
Escribe tu número. Divídelo por el número primo más pequeño posible (usualmente 2, 3 o 5).
Ejemplo: $60 \div 2 = 30$. Escribe el 2 a la izquierda y el 30 debajo.
Ejemplo: $60 \div 2 = 30$. Escribe el 2 a la izquierda y el 30 debajo.
Paso 2 Repite el proceso
Toma el resultado (30). ¿Es divisible por 2 otra vez? Sí.
Ejemplo: $30 \div 2 = 15$. Escribe el 2 a la izquierda y el 15 debajo.
Ejemplo: $30 \div 2 = 15$. Escribe el 2 a la izquierda y el 15 debajo.
Paso 3 Sube de nivel
15 no es divisible por 2. Prueba con el siguiente primo: 3.
Ejemplo: $15 \div 3 = 5$. Escribe el 3 a la izquierda y el 5 debajo.
Ejemplo: $15 \div 3 = 5$. Escribe el 3 a la izquierda y el 5 debajo.
Paso 4 La señal de pare
El resultado es 5. Como el 5 es un número primo, nos detenemos.
Reúne la columna izquierda: 2, 2, 3, 5. Resultado: $2^2 \times 3 \times 5$.
Reúne la columna izquierda: 2, 2, 3, 5. Resultado: $2^2 \times 3 \times 5$.
4. Consejo Pro: Reglas de Divisibilidad
¿Cómo saber por qué primo empezar? Usa estos atajos mentales para encontrar factores al instante sin calculadora.
⚡ Reglas de Verificación Rápida
- Regla del 2 La última cifra es par (0, 2, 4, 6, 8).
Ejemplo: 128 termina en 8 → Divisible por 2. - Regla del 3 La suma de las cifras es divisible por 3.
Ejemplo: 51 → 5+1=6 (6 es divisible por 3) → 51 es divisible por 3. - Regla del 5 La última cifra es 0 o 5.
Ejemplo: 105 termina en 5 → Divisible por 5. - Regla del 7 Duplica la última cifra y réstala del resto del número.
Ejemplo: 91 → 9 – (1×2) = 7 → Divisible por 7.
5. ¿Para qué sirve esto? (MCD y mcm)
La factorización prima no es solo un truco matemático. Es la forma más confiable de resolver problemas complejos de fracciones.
A. Encontrar el Máximo Común Divisor (MCD)
Para hallar el MCD de dos números (como 12 y 18), descompón ambos y multiplica los primos comunes con su exponente más bajo.
• $12 = 2^2 \times 3$
• $18 = 2 \times 3^2$
• Comunes: Un 2 y un 3. $MCD = 2 \times 3 = 6$.
B. Encontrar el Mínimo Común Múltiplo (mcm)
Para hallar el mcm, multiplica las potencias más altas de todos los primos presentes.
• Mayor $2$: $2^2$ (del 12)
• Mayor $3$: $3^2$ (del 18)
• $mcm = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.
C. Criptografía (Encriptación RSA)
La seguridad moderna de internet (HTTPS) se basa en que multiplicar primos es fácil, pero encontrar la Factorización Prima de un número masivo (de 2048 bits) es casi imposible. Esta calle matemática de un solo sentido protege tus datos bancarios.
6. Tabla Rápida: Los 10 Números más Buscados
Aquí tienes las descomposiciones primas para los problemas de tarea más comunes.
| Número | Factorización Prima | Forma Exponencial |
|---|---|---|
| 12 | $2 \times 2 \times 3$ | $2^2 \times 3$ |
| 18 | $2 \times 3 \times 3$ | $2 \times 3^2$ |
| 24 | $2 \times 2 \times 2 \times 3$ | $2^3 \times 3$ |
| 36 | $2 \times 2 \times 3 \times 3$ | $2^2 \times 3^2$ |
| 60 | $2 \times 2 \times 3 \times 5$ | $2^2 \times 3 \times 5$ |
| 72 | $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$ | $2^3 \times 3^2$ |
| 100 | $2 \times 2 \times 5 \times 5$ | $2^2 \times 5^2$ |
| 120 | $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5$ | $2^3 \times 3 \times 5$ |
| 144 | $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$ | $2^4 \times 3^2$ |
| 360 | $2^3 \times 3^2 \times 5$ | $2^3 \times 3^2 \times 5$ |
7. Esquina de Preguntas Frecuentes
¿Se puede factorizar un número primo?
Técnicamente sí, pero es aburrido. La factorización prima de 17 es simplemente… 17. Ya es un «átomo» y no puede dividirse más.
¿Por qué no incluimos el 1 en la factorización?
Si incluyéramos el 1, la factorización no sería única. Podríamos escribir $12 = 2 \times 2 \times 3 \times 1 \times 1 \times 1…$ por siempre. Los matemáticos odian la ambigüedad, por lo que el 1 se excluye.
¿Cómo factorizan los ordenadores números grandes?
Para números pequeños, usan la división por tentativa. Para números masivos, usan algoritmos avanzados como rho de Pollard o la Criba Cuadrática, que usan aritmética modular compleja.
¿Es única la factorización prima?
¡Sí! Esto lo garantiza el Teorema Fundamental de la Aritmética. Cada número entero tiene exactamente un conjunto de factores primos (ignorando el orden).
Referencias
- Gauss, C. F. (1801). Disquisitiones Arithmeticae. (Estableció el Teorema Fundamental).
- Pollard, J. M. (1975). «A Monte Carlo method for factorization». BIT Numerical Mathematics.
- Hardy, G. H., & Wright, E. M. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press.
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