Calculadora de Fibonacci
Calcula Fn y visualiza la secuencia
$$ F_n = ? $$
Introduce la posición (n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
BORRAR
0
⌫
Número de Fibonacci Fn
Análisis de la Secuencia
👨🏫
Por el Prof. David Anderson
Profesor de Matemáticas | +20 años de Exp.
«Si las matemáticas son el lenguaje del universo, la Sucesión de Fibonacci es su poema más elegante. No es solo una lista de números; es el algoritmo de eficiencia de la naturaleza. Desde la espiral de una galaxia lejana hasta la disposición de las semillas en el girasol de tu jardín, este código $F_n$ aparece en todas partes. Hoy exploraremos su profunda conexión con la Proporción Áurea ($\phi$) y la Fórmula de Binet.»
Calculadora de Fibonacci: Generar Lista y Calcular Proporción Áurea ($\phi$)
Genera la secuencia y calcula la convergencia al Número Áureo
Introduce la posición ($n$) a calcular:
1. Orígenes: El Problema de los Conejos de 1202
Aunque la secuencia era conocida por matemáticos indios desde el siglo VI, fue introducida en Occidente por Leonardo de Pisa (Fibonacci). En su libro Liber Abaci, planteó un famoso problema sobre el crecimiento de una población de conejos:
🐇 El Experimento Mental:
- Comienzas con una pareja de bebés.
- Tardan un mes en madurar.
- Cada mes, una pareja madura produce una nueva pareja.
- Los conejos nunca mueren.
2. El Motor Matemático
A. La Fórmula Recursiva
Cada término es la suma de los dos anteriores:
$$ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} $$
Donde $F_0 = 0, F_1 = 1$
Donde $F_0 = 0, F_1 = 1$
B. Fórmula de Binet (Forma Cerrada)
Permite hallar cualquier número de Fibonacci sin conocer los anteriores:
$$ F_n = \frac{\phi^n – (1-\phi)^n}{\sqrt{5}} $$
Donde $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$
Donde $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$
3. La Conexión con la Proporción Áurea ($\phi$)
A medida que avanzas en la secuencia, la división entre un número y su anterior se acerca más al número áureo. Es una aproximación de la armonía perfecta.
4. Fibonacci en la Informática
Calcular estos números es el ejercicio clásico para entender la Eficiencia Algorítmica.
Programación Dinámica ($O(n)$)
La recursividad simple es lenta. Al «recordar» resultados previos (Memoización), el cálculo se vuelve instantáneo, como en nuestra calculadora.
5. Naturaleza, Arte y Mitos Comunes
🌻 Realidad: Filotaxis
Las plantas organizan sus hojas en ángulos de $137.5^\circ$ (el Ángulo Áureo) para que ninguna hoja tape a otra, maximizando la luz solar.
🚫 Mito: La Concha del Nautilus
Nota del Profesor: Aunque es una espiral logarítmica, el ratio de crecimiento del Nautilus suele ser $1.3$, no $1.618$. ¡No toda espiral natural es Fibonacci!
6. Preguntas Frecuentes (FAQ)
P: ¿Qué es el Teorema de Zeckendorf?
Establece que cualquier número positivo se puede formar sumando números de Fibonacci no consecutivos. Por ejemplo: $100 = 89 + 8 + 3$.
P: ¿Por qué lo usan los inversores?
En trading, los «Retrocesos de Fibonacci» ayudan a predecir niveles donde el precio de una acción podría rebotar.
Referencias
- Fibonacci. Liber Abaci. 1202.
- Knuth, D. E. The Art of Computer Programming.
- Livio, Mario. La Proporción Áurea.
¿Explorar más patrones?
Descubre cómo los Números de Bell ayudan a organizar conjuntos de datos.
Ir a Números de Bell