Mittelwert Rechner
Berechnen Sie das arithmetische Mittel ($\bar{x}$)
$$ \bar{x} = \frac{\sum x}{n} $$
Datensatz (mit Komma trennen)
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LÖSCHEN
Arithmetisches Mittel ($\bar{x}$)
Datenverteilung
Detaillierter Rechenweg
👨🏫
Von Prof. David Anderson
Statistik-Professor | 20+ Jahre Lehrerfahrung
„In meinen Einführungsvorlesungen in Statistik sind einfaches Addieren und Dividieren selten das Problem. Die wahre Herausforderung ist die Terminologie. Studenten berechnen oft die richtige Zahl, scheitern aber in der Prüfung, weil sie den Stichprobenmittelwert ($\bar{x}$) mit dem Populationsmittelwert ($\mu$) verwechseln. Ich habe diesen Stichprobenmittelwert Rechner entwickelt, um nicht nur den ‚X-Quer‘-Wert sofort zu liefern, sondern auch als umfassender Leitfaden für die Grundlagen der deskriptiven Statistik zu dienen.“
Stichprobenmittelwert Rechner ($\bar{x}$): X-Bar, Durchschnitt & Standardfehler berechnen
Der komplette Leitfaden zur Statistik: X-Bar, My, gewichtete Mittelwerte & Häufigkeitstabellen
Der Stichprobenmittelwert Rechner ist ein unverzichtbares Werkzeug für die deskriptive Statistik. Er berechnet das Maß der zentralen Tendenz – oder den „Durchschnitt“ – einer bestimmten Teilmenge von Daten. In der Statistik ist dieser Wert formal als X-Quer ($\bar{x}$) bekannt.
Ob Sie Testergebnisse, wissenschaftliche Messwerte oder Umfragedaten analysieren, der Stichprobenmittelwert fungiert als Punktschätzer für die gesamte Grundgesamtheit. Nutzen Sie dieses Tool, um sofort den Stichprobenmittelwert zu berechnen, sowie Summe, Anzahl und fortgeschrittene Konzepte wie den Standardfehler zu explorieren.
1. Die Formel für den Stichprobenmittelwert (X-Bar)
⚠️ Tipp vom Professor: Achten Sie auf das „n“
In der untenstehenden Formel steht $n$ (kleingeschrieben) für den Stichprobenumfang (die Anzahl der tatsächlich gezählten Elemente). Verwechseln Sie es nicht mit $N$ (großgeschrieben), das normalerweise die Größe der Grundgesamtheit (Population) darstellt.
Die mathematische Formel für den Stichprobenmittelwert ist die Summe aller Datenpunkte dividiert durch die Anzahl der Datenpunkte.
X-Quer Gleichung
$$ \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} $$
Wobei $\sum x_i$ die Summe aller Werte und $n$ die Anzahl der Stichproben ist.
2. Wichtiges Konzept: X-Bar ($\bar{x}$) vs. My ($\mu$)
Dies ist der häufigste Fehler in Statistikprüfungen. Obwohl die Berechnung (Addieren und Dividieren) identisch ist, ist die Bedeutung völlig unterschiedlich.
$\bar{x}$ (Stichprobenmittelwert)
- Bezeichnung: X-Bar / X-Quer
- Definition: Durchschnitt einer Teilmenge.
- Rolle: Es ist eine Statistik.
- Eigenschaften: Ändert sich mit jeder neuen Stichprobe.
- Beispiel: Durchschnittsgröße von 50 Schülern in Ihrer Klasse.
$\mu$ (Populationsmittelwert)
- Bezeichnung: My (griechisch „Mu“)
- Definition: Durchschnitt von allen.
- Rolle: Es ist ein Parameter.
- Eigenschaften: Fixer Wert, meist unbekannt.
- Beispiel: Durchschnittsgröße aller Menschen auf der Erde.
Analogie des Professors: Stellen Sie sich einen Topf Suppe vor. $\mu$ ist der Geschmack des gesamten Topfes (die Wahrheit). $\bar{x}$ ist der Geschmack eines Löffels (die Stichprobe). Wir benutzen den Löffel, um den Geschmack des ganzen Topfes zu schätzen.
3. Stichprobenmittelwert berechnen (Schritt-für-Schritt)
Unser X-Bar Rechner erledigt das sofort, aber Sie sollten die manuellen Schritte kennen. Beispiel-Datensatz: $\{5, 8, 12, 15\}$.
Schritt 1
Daten summieren ($\sum x$)
Addieren Sie alle Zahlen zusammen.
$5 + 8 + 12 + 15 = 40$
$5 + 8 + 12 + 15 = 40$
Schritt 2
Anzahl zählen ($n$)
Zählen Sie, wie viele Elemente im Set sind.
Anzahl $n = 4$
Anzahl $n = 4$
Schritt 3
Dividieren
Teilen Sie die Summe durch die Anzahl.
$40 / 4 = 10$. Also ist $\bar{x} = 10$.
$40 / 4 = 10$. Also ist $\bar{x} = 10$.
4. Fortgeschritten: Mittelwert aus Häufigkeitstabellen
Manchmal liegen Daten nicht als Liste vor, sondern als Tabelle. Wie findet man den Mittelwert einer Häufigkeitstabelle?
Der Trick: Multiplizieren Sie jeden Wert ($x$) mit seiner Häufigkeit ($f$), bevor Sie summieren.
Formel: $\bar{x} = \frac{\sum (f \times x)}{\sum f}$
| Wert ($x$) | Häufigkeit ($f$) | Berechnung ($f \times x$) |
|---|---|---|
| 5 | 3 | $5 \times 3 = 15$ |
| 8 | 2 | $8 \times 2 = 16$ |
| 10 | 5 | $10 \times 5 = 50$ |
| Gesamt | Summe $n = 10$ | Summe $\sum fx = 81$ |
Endberechnung: $\bar{x} = 81 / 10 = 8,1$.
5. Der gewichtete Stichprobenmittelwert
In manchen Fällen sind nicht alle Datenpunkte gleich wichtig. Dies ist üblich bei Notendurchschnitten (GPA) oder in der Physik. Man spricht vom gewichteten Mittelwert.
⚖️ Gewichtete Formel
$$ \bar{x}_w = \frac{\sum (w_i \cdot x_i)}{\sum w_i} $$
Anstatt durch die Anzahl ($n$) zu teilen, teilen Sie durch die Summe der Gewichte.
6. Pro-Konzept: Standardfehler des Mittelwerts (SEM)
Wenn Sie eine Stichprobe ziehen und einen Mittelwert von 10 erhalten, wie sicher sind Sie, dass der wahre Populationsmittelwert 10 ist? Der Standardfehler beantwortet dies.
$$ \text{SEM} = \frac{s}{\sqrt{n}} $$
Wobei $s$ die Stichproben-Standardabweichung und $n$ der Stichprobenumfang ist.
Wichtige Erkenntnis: Wenn der Stichprobenumfang ($n$) steigt, wird $\sqrt{n}$ größer, was den Standardfehler verkleinert. Dies beweist mathematisch: Größere Stichproben liefern genauere Mittelwerte.
7. Mittelwert vs. Median: Was soll man wählen?
Der Stichprobenmittelwert reagiert empfindlich auf Ausreißer.
| Metrik | Bestens geeignet für… | Schwäche |
|---|---|---|
| Mittelwert ($\bar{x}$) | Normalverteilungen, wissenschaftliche Daten, Größe, Gewicht. | Verzerrung durch Extremwerte (z.B. wenn Bill Gates eine Bar betritt, schießt das Durchschnittsvermögen extrem hoch). |
| Median | Schiefe Verteilungen, Einkommen, Hauspreise. | Mathematisch weniger nützlich für komplexe Formeln. |
8. FAQ-Ecke des Professors
Wie finde ich X-Bar auf einem Taschenrechner?
Auf einem TI-84 drücken Sie [STAT] -> [EDIT], geben die Daten in L1 ein. Dann [STAT] -> [CALC] -> [1-Var Stats]. Suchen Sie nach dem Symbol $\bar{x}$.
Ist der Stichprobenmittelwert ein erwartungstreuer Schätzer?
Ja! Das ist ein Schlüsselkonzept. Der Erwartungswert des Stichprobenmittelwerts ist exakt gleich dem Populationsmittelwert ($E[\bar{x}] = \mu$). Das bedeutet, $\bar{x}$ über- oder unterschätzt die Wahrheit nicht systematisch.
Wie berechnet man den Mittelwert in Excel?
Verwenden Sie die Funktion
=MITTELWERT(A1:A10).
Quellen & Referenzen
- Moore, D. S. (2014). Grundlagen der Statistik. (Standardwerk für X-Bar).
- Khan Academy. „Stichproben- vs. Populationsmittelwert.“
- NIST Handbook of Statistical Methods. „Measures of Location.“
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