Primfaktorzerlegung Rechner
Zerlegen Sie eine ganze Zahl in ihre Primfaktoren
$$ n = ? $$
Ganze Zahl eingeben
1
2
3
4
5
6
7
8
9
CLR
0
⌫
Kanonische Form
Schrittweise Division
👨🏫
Von Prof. David Anderson
Professor für Mathematik | Über 20 Jahre Erfahrung
„Stellen Sie sich Zahlen wie Lego-Strukturen vor. Einige, wie 2, 3 oder 5, sind einzelne Steine (Primzahlen). Andere, wie 12 oder 60, sind Bauwerke aus diesen Steinen (Zusammengesetzte Zahlen). Die Primfaktorzerlegung ist die Kunst, das Bauwerk wieder in seine ursprünglichen Steine zu zerlegen. In 20 Jahren Lehre habe ich gesehen, wie Schüler ‚Faktoren‘ ständig mit ‚Primfaktoren‘ verwechseln. Heute korrigieren wir das – und zeichnen dabei ein paar schöne Faktorbäume.“
Rechner für Primfaktorzerlegung: Der anatomische Leitfaden für Zahlen
Faktorbäume, Kanonische Formen und der Hauptsatz der Arithmetik
Der Rechner für Primfaktorzerlegung zerlegt jede zusammengesetzte ganze Zahl in ein Produkt aus Primzahlen. Dieser Prozess enthüllt die „DNA“ der Zahl. Egal ob Sie Brüche kürzen, den größten gemeinsamen Teiler (ggT) suchen, das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) berechnen oder Kryptografie studieren – dies ist das grundlegende Werkzeug, das Sie benötigen.
Im Gegensatz zu einem einfachen Rechner liefert dieses Tool die Potenzschreibweise (z. B. $2^3 \times 3$) und visualisiert den Prozess mithilfe eines Faktorbaums.
$$ n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_k^{a_k} $$
Kanonische Darstellung: Eine Zahl als Produkt von Primzahlpotenzen schreiben (z. B. $12 = 2^2 \times 3$).
1. Der interaktive Faktorbaum
Der beste Weg, die Ganzzahl-Faktorisierung zu verstehen, ist die visuelle Darstellung. Betrachten wir die Zahl 60. Wir teilen sie so lange auf, bis wir bei den „Endstationen“ ankommen – den Primzahlen.
[Image of a factor tree for the number 60]60
6
2
3
10
2
5
*Blaue Knoten sind Primzahlen (Blätter). Weiße Knoten sind zusammengesetzt.*
Ergebnis: $2 \times 3 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$
2. Wichtiger Unterschied: Alle Faktoren vs. Primfaktoren
Dies ist der häufigste Fehler in Prüfungen. Verwechseln Sie nicht die Liste aller Teiler mit den Grundbausteinen. Diese Tabelle erklärt den Unterschied:
| Eigenschaft | Alle Faktoren (Teiler) | Primfaktoren (Zerlegung) |
|---|---|---|
| Definition | Jede Zahl, durch die $n$ ohne Rest teilbar ist. | Nur Primzahlen, deren Produkt $n$ ergibt. |
| Inklusive 1? | JA (1 teilt alles). | NEIN (1 ist nicht prim). |
| Beispiel (12) | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 2, 2, 3 (bzw. $2^2 \times 3$) |
3. Methode 2: Die Leitermethode (Schritt für Schritt)
Während Faktorbäume anschaulich sind, ist die Leitermethode (auch „Kurzdivision“ genannt) sauberer, linearer und weniger fehleranfällig bei unordentlicher Handschrift.
[Image of the ladder method for prime factorization]Schritt 1 Klein anfangen
Schreiben Sie Ihre Zahl auf. Teilen Sie sie durch die kleinstmögliche Primzahl (meist 2, 3 oder 5).
Beispiel: $60 \div 2 = 30$. Notieren Sie die 2 links und die 30 darunter.
Beispiel: $60 \div 2 = 30$. Notieren Sie die 2 links und die 30 darunter.
Schritt 2 Wiederholen
Nehmen Sie das Ergebnis (30). Ist es wieder durch 2 teilbar? Ja.
Beispiel: $30 \div 2 = 15$. Notieren Sie die 2 links und die 15 darunter.
Beispiel: $30 \div 2 = 15$. Notieren Sie die 2 links und die 15 darunter.
Schritt 3 Nächste Primzahl
15 ist nicht durch 2 teilbar. Versuchen Sie die nächste Primzahl: 3.
Beispiel: $15 \div 3 = 5$. Notieren Sie die 3 links und die 5 darunter.
Beispiel: $15 \div 3 = 5$. Notieren Sie die 3 links und die 5 darunter.
Schritt 4 Das Ende der Leiter
Das Ergebnis ist 5. Da 5 eine Primzahl ist, stoppen wir.
Sammeln Sie die linke Seite: 2, 2, 3, 5. Ergebnis: $2^2 \times 3 \times 5$.
Sammeln Sie die linke Seite: 2, 2, 3, 5. Ergebnis: $2^2 \times 3 \times 5$.
4. Profi-Tipp: Teilbarkeitsregeln
Woher wissen Sie, mit welcher Primzahl Sie beginnen sollen? Nutzen Sie diese Kopfrechen-Tricks:
⚡ Schnelle Check-Regeln
- Regel für 2 Die letzte Ziffer ist gerade (0, 2, 4, 6, 8).
- Regel für 3 Die Quersumme ist durch 3 teilbar.
Beispiel: 51 → 5+1=6 (6 ist durch 3 teilbar) → 51 ist durch 3 teilbar. - Regel für 5 Die letzte Ziffer ist 0 oder 5.
- Regel für 10 Die Zahl endet auf 0 (enthält Faktoren 2 und 5).
5. Wozu das Ganze? (ggT & kgV)
Die Primfaktorzerlegung ist der zuverlässigste Weg, um komplexe Bruchaufgaben zu lösen.
A. Größten gemeinsamen Teiler (ggT) finden
Zerlegen Sie beide Zahlen (z. B. 12 und 18) und multiplizieren Sie die gemeinsamen Primfaktoren mit der kleinsten Potenz.
• $12 = 2^2 \times 3$
• $18 = 2 \times 3^2$
• Gemeinsam: Eine 2 und eine 3. $ggT = 2 \times 3 = 6$.
B. Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) finden
Multiplizieren Sie die jeweils höchsten Potenzen aller vorkommenden Primfaktoren.
• Höchste $2$: $2^2$ (von der 12)
• Höchste $3$: $3^2$ (von der 18)
• $kgV = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.
6. Spickzettel: Top 10 der gesuchten Zahlen
| Zahl | Zerlegung | Potenzform |
|---|---|---|
| 12 | $2 \times 2 \times 3$ | $2^2 \times 3$ |
| 24 | $2 \times 2 \times 2 \times 3$ | $2^3 \times 3$ |
| 36 | $2 \times 2 \times 3 \times 3$ | $2^2 \times 3^2$ |
| 60 | $2 \times 2 \times 3 \times 5$ | $2^2 \times 3 \times 5$ |
| 72 | $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$ | $2^3 \times 3^2$ |
| 100 | $2 \times 2 \times 5 \times 5$ | $2^2 \times 5^2$ |
| 360 | $2^3 \times 3^2 \times 5$ | $2^3 \times 3^2 \times 5$ |
7. FAQ des Professors
Warum gehört die 1 nicht in die Zerlegung?
Wäre die 1 dabei, wäre die Zerlegung nicht eindeutig. Man könnte schreiben $12 = 2 \times 2 \times 3 \times 1 \times 1…$ bis ins Unendliche. Mathematiker hassen Unklarheit, daher ist die 1 (eine „Einheit“) ausgeschlossen.
Ist die Primfaktorzerlegung immer eindeutig?
Ja! Das garantiert der Hauptsatz der Arithmetik. Jede ganze Zahl hat genau eine Menge von Primfaktoren (abgesehen von der Reihenfolge).
Kann man negative Zahlen zerlegen?
Ja. Klammern Sie -1 aus und führen Sie die Zerlegung für den positiven Teil durch. Beispiel: $-12 = -1 \times 2^2 \times 3$.
Quellen
- Gauss, C. F. (1801). Disquisitiones Arithmeticae. (Etablierung des Hauptsatzes).
- Hardy, G. H., & Wright, E. M. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press.
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