Pearson-Korrelation
Lineare Abhängigkeit berechnen ($r$)
[Image of pearson correlation graph]
$$ r = \frac{\sum (x – \bar{x})(y – \bar{y})}{\sqrt{SS_x \cdot SS_y}} $$
X-Werte (mit Komma getrennt)
Y-Werte (mit Komma getrennt)
1
2
3
+
–
,
4
5
6
*
^
.
7
8
9
0
LÖSCHEN
Korrelationskoeffizient ($r$)
Detaillierter Lösungsweg
👨🏫
Von Prof. David Anderson
Statistik-Professor | 20+ Jahre Erfahrung
"In 20 Jahren Lehre ist der größte Fehler, den ich bei Studenten sehe, nicht die Mathematik – sondern die Logik. Sie sehen eine hohe Korrelation und nehmen Kausalität an. Sie sehen $r=0,9$ zwischen 'Eiscreme-Verkäufen' und 'Hai-Angriffen' und glauben, Eiscreme verursacht Hai-Angriffe (Spoiler: Es ist das Sommerwetter). Ich habe diesen Pearson-Korrelationsrechner entwickelt, um nicht nur die Zahlen für Sie zu berechnen, sondern als Ihr 'Beziehungs-Detektiv' zu fungieren, der sicherstellt, dass Sie Ihre Daten mit wissenschaftlicher Strenge interpretieren."
Pearson-Korrelationsrechner ($r$): Formel, P-Wert & Interpretation
Berechnen Sie lineare Beziehungen, Signifikanz und das Bestimmtheitsmaß
Der Pearson-Korrelationsrechner ist das statistische Standardwerkzeug zur Messung der Stärke und Richtung der linearen Beziehung zwischen zwei kontinuierlichen Variablen. Das Ergebnis, bekannt als Pearson's $r$, reicht von -1 bis +1.
Ob Sie den Zusammenhang zwischen Lernstunden und Prüfungsergebnissen oder zwischen Marketingausgaben und Umsatz analysieren – dieses Tool liefert die drei entscheidenden Kennzahlen: den Korrelationskoeffizienten ($r$), den P-Wert (Signifikanz) und das Bestimmtheitsmaß ($R^2$).
[Image of correlation coefficient plots]1. Die Pearson-Korrelationsformel ($r$)
⚠️ Professor's Einblick: Es ist standardisierte Kovarianz
Stellen Sie sich Pearson's $r$ als "Kovarianz dividiert durch das Produkt der Standardabweichungen" vor. Die Kovarianz zeigt die Richtung an; die Division durch die Standardabweichungen standardisiert das Ergebnis, sodass es immer zwischen -1 und 1 liegt.
Die mathematische Formel für den Pearson-Produkt-Moment-Korrelationskoeffizienten lautet:
Gleichung für Pearson's r
$$ r = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i - \bar{x})^2 \sum(y_i - \bar{y})^2}} $$
Wobei $\bar{x}$ und $\bar{y}$ die Mittelwerte der Variablen X und Y sind.
2. Interpretationshilfe: Wie stark ist Ihr $r$?
Sie haben $r = 0,65$ berechnet. Ist das stark? Schwach? Hier ist die Standard-Rubrik, die in den Sozialwissenschaften und der Business-Analyse verwendet wird.
-1,0 bis -0,7
Stark Negativ
Stark Negativ
-0,7 bis -0,3
Moderat Negativ
Moderat Negativ
-0,3 bis +0,3
Schwach / Keine
Schwach / Keine
+0,3 bis +0,7
Moderat Positiv
Moderat Positiv
+0,7 bis +1,0
Stark Positiv
Stark Positiv
| r-Wert | Stärke | Praxisbeispiel |
|---|---|---|
| +1,0 | Perfekt Positiv | Temperatur in Celsius vs. Fahrenheit. |
| +0,8 | Stark Positiv | Körpergröße vs. Schuhgröße. |
| 0,0 | Keine Korrelation | IQ-Werte vs. Postleitzahl. |
| -0,6 | Moderat Negativ | Stunden TV-Konsum vs. Notendurchschnitt. |
| -1,0 | Perfekt Negativ | Geschwindigkeit vs. Zeit für eine feste Strecke. |
3. Berechnung von Pearson's r (Schritt-für-Schritt)
Lassen Sie uns die Beziehung "Lernstunden vs. Prüfungsergebnis" manuell prüfen.
X (Stunden): $\{1, 2, 3, 4, 5\}$
Y (Ergebnis): $\{50, 60, 70, 80, 90\}$
Schritt 1
Mittelwerte finden ($\bar{x}, \bar{y}$)
Berechnen Sie den Durchschnitt für X und Y.
$\bar{x} = 3$
$\bar{y} = 70$
$\bar{x} = 3$
$\bar{y} = 70$
Schritt 2
Differenzen berechnen
Subtrahieren Sie den Mittelwert von jedem Datenpunkt.
Bsp: $1-3=-2$, $50-70=-20$.
Bsp: $1-3=-2$, $50-70=-20$.
Schritt 3
Multiplizieren & Summieren
Multiplizieren Sie $(x-\bar{x})(y-\bar{y})$ und summieren Sie diese. Das ist der Zähler (Kovarianz).
Ergebnis: 200.
Ergebnis: 200.
4. Die große Debatte: Pearson vs. Spearman
Dies ist die häufigste Frage in meinen Fortgeschrittenen-Kursen. "Professor, welche Korrelation soll ich verwenden?"
📈 Pearson ($r$)
- Typ: Parametrischer Test.
- Beziehung: Misst nur lineare (geradlinige) Beziehungen.
- Voraussetzungen: Daten müssen normalverteilt sein. Anfällig für Ausreißer.
- Bestens geeignet für: Physikalische Messungen (Größe vs. Gewicht).
📊 Spearman ($\rho$)
- Typ: Nicht-parametrischer (Rang-) Test.
- Beziehung: Misst monotone Beziehungen (stetig steigend/fallend, auch kurvig).
- Voraussetzungen: Kann mit Ausreißern und nicht-normalen Daten umgehen.
- Bestens geeignet für: Umfragedaten (Likert-Skalen), Rankings.
5. Jenseits von r: P-Wert & R-Quadrat
Einen r-Wert zu erhalten, ist erst der Anfang. Sie brauchen Kontext.
Der P-Wert (Signifikanz)
Der P-Wert beantwortet die Frage: "Könnte diese Korrelation durch reinen Zufall entstanden sein?"
• Wenn $p < 0,05$: Die Korrelation ist statistisch signifikant.
• Wenn $p > 0,05$: Die Korrelation könnte Zufallsrauschen sein. (Ein hohes $r$ bei einer winzigen Stichprobe hat oft einen hohen P-Wert).
Das Bestimmtheitsmaß ($R^2$)
Wenn Sie $r$ quadrieren, erhalten Sie $R^2$. Dies gibt den Prozentsatz der erklärten Varianz an.
Beispiel: Wenn die Korrelation $r = 0,9$ zwischen Werbung und Umsatz liegt:
$R^2 = 0,81$. Das bedeutet, 81% der Schwankungen im Umsatz können durch Werbung erklärt werden. Die restlichen 19% sind andere Faktoren.
6. Professor's FAQ-Ecke
Impliziert Korrelation Kausalität?
NEIN. Das ist die goldene Regel. Nur weil "Eisverkäufe" und "Ertrinkungsfälle" korrelieren ($r=0,8$), bedeutet das nicht, dass Eis Ertrinken verursacht. Es gibt eine dritte Variable (Sommer/Hitze), die beides verursacht. Dies nennt man eine Scheinkorrelation.
Warum ist meine Korrelation Null?
Ein Ergebnis von $r=0$ bedeutet nur, dass keine lineare Beziehung besteht. Die Variablen könnten dennoch zusammenhängen! Denken Sie an eine U-Form (Parabel). $Y = X^2$ hat eine Korrelation von 0, ist aber perfekt miteinander verknüpft. Visualisieren Sie Ihre Daten immer zuerst.
Wie berechnet man die Pearson-Korrelation in Excel?
Nutzen Sie die Funktion
=KORREL(Matrix1; Matrix2) oder =PEARSON(Matrix1; Matrix2). Beide liefern das gleiche Ergebnis. Um $R^2$ zu erhalten, nutzen Sie =BESTIMMTHEITSMASS(Matrix1; Matrix2).
Quellenangaben
- Cohen, J. (1988). Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences. (Standard zur Interpretation der Effektstärke von r).
- Pearson, K. (1895). "Note on Regression and Inheritance in the Case of Two Parents."
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. "Correlation Coefficient."
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Geben Sie Ihre X- und Y-Datensätze ein, um Korrelationen sofort zu erkennen.
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