Normalverteilung
Z-Wert und Wahrscheinlichkeit ($P(X < x)$) berechnen
[Image of bell curve probability]
$$ Z = \frac{x – \mu}{\sigma} $$
Mittelwert ($\mu$)
Standardabw. ($\sigma$)
Wert ($x$)
1
2
3
+
–
,
4
5
6
*
/
C
7
8
9
0
LÖSCHEN
Z-Score (Z-Wert)
Detaillierter Lösungsweg
👨🏫
Von Prof. David Anderson
Statistik-Professor | 20+ Jahre Erfahrung
"Willkommen im Herzen der Statistik. Die Normalverteilung (oder Glockenkurve) ist das Lieblingsmuster der Natur – von der Körpergröße bis zu Prüfungsergebnissen konvergiert alles hier. In 20 Jahren Lehre habe ich jedoch gesehen, dass Studenten nicht am Konzept scheitern, sondern an der Richtung. Sie berechnen die Fläche 'links', wenn nach 'größer als' gefragt wird. Dieser Rechner ist Ihr Kompass, damit Sie sich nie wieder in den Enden der Gauß-Verteilung verlieren."
Normalverteilungsrechner: Wahrscheinlichkeit, Z-Werte & Fläche
Berechnung der Fläche unter der Glockenkurve, Wahrscheinlichkeitsdichte & Verteilungsfunktion
Der Normalverteilungsrechner (oft auch Glockenkurven-Rechner genannt) ist das Standardwerkzeug, um die Wahrscheinlichkeit ($P$) zu finden, dass eine Variable in einen bestimmten Bereich fällt. Egal ob Sie mit der Standardnormalverteilung (Z) oder einer allgemeinen Normalverteilung (X) arbeiten, die durch Mittelwert ($\mu$) und Standardabweichung ($\sigma$) definiert ist, dieses Tool berechnet die Fläche unter der Kurve sofort.
Durch Integration der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) und Bestimmung der kumulativen Verteilungsfunktion (CDF) ersetzt dieser Rechner das mühsame Nachschlagen in Z-Tabellen.
[Image of normal distribution bell curve with standard deviations]1. Wahrscheinlichkeits-Visualisierung: Wählen Sie Ihre Schattierung
🧭 Der Kompass des Professors
Bevor Sie die Fläche unter der Normalkurve berechnen, müssen Sie festlegen, welche Richtung Sie testen. Suchen Sie nach der Tail-Wahrscheinlichkeit (Endbereich) oder dem zentralen Bereich?
Linkes Ende (CDF)
P(X < x)
"Wahrscheinlichkeit kleiner als..."
Rechtes Ende
P(X > x)
"Wahrscheinlichkeit größer als..."
Zwischenbereich
P(a < X < b)
"Zwischen zwei Z-Werten"
2. Formel der Normalverteilung & Z-Werte
Die mathematische Grundlage der Glockenkurve ist die Gaußsche Dichtefunktion. Sie sieht komplex aus:
Gauß-PDF-Gleichung
$$ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} $$
Da die manuelle Integration dieser Funktion schwierig ist, nutzen wir die Standardisierung. Wir wandeln jede allgemeine Normalverteilung ($X$) in die Standardnormalverteilung ($Z$) um.
Z-Wert-Formel: $$ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $$
Dies gibt an, wie viele Standardabweichungen ($\sigma$) ein Wert ($X$) vom Mittelwert ($\mu$) entfernt ist.
Dies gibt an, wie viele Standardabweichungen ($\sigma$) ein Wert ($X$) vom Mittelwert ($\mu$) entfernt ist.
3. Standardnormal ($Z$) vs. Allgemeine Normalverteilung ($X$)
Den Unterschied zu verstehen, ist entscheidend für die korrekte Anwendung dieses Rechners.
🌍 Allgemein ($X$)
- Mittelwert ($\mu$): Beliebige Zahl (z.B. Größe = 170cm).
- SD ($\sigma$): Beliebige Zahl (z.B. 10cm).
- Einheiten: Reale Einheiten (cm, €, kg).
📏 Standard ($Z$)
- Mittelwert ($\mu$): Immer 0.
- SD ($\sigma$): Immer 1.
- Einheiten: Einheitenlos (Standardabweichungen).
4. Die empirische Regel (68-95-99.7)
Bevor Sie den Rechner nutzen, können Sie Wahrscheinlichkeiten oft mit der empirischen Regel schätzen.
[Image of 68-95-99.7 rule diagram]| Bereich ($\mu \pm \sigma$) | Wahrscheinlichkeit (Fläche) | Interpretation |
|---|---|---|
| $\pm 1 \sigma$ | 68% | Die meisten Daten sind "durchschnittlich". |
| $\pm 2 \sigma$ | 95% | Daten außerhalb sind "ungewöhnlich". |
| $\pm 3 \sigma$ | 99.7% | Daten außerhalb sind "Ausreißer". |
5. Fallstudie: Berechnung von SAT-Ergebnissen
Szenario: SAT-Ergebnisse sind normalverteilt mit $\mu = 1000$ und $\sigma = 200$. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis über 1200?
- Schritt 1: Z-Wert berechnen. $$Z = \frac{1200 - 1000}{200} = 1.0$$
- Schritt 2: Fläche links finden (CDF). Für $Z=1.0$ beträgt die Fläche etwa $0.8413$.
- Schritt 3: Fläche rechts berechnen. Da wir "darüber" suchen: $$P(X > 1200) = 1 - 0.8413 = 0.1587$$
- Ergebnis: Es gibt eine Wahrscheinlichkeit von 15.87%.
6. Professor's FAQ-Ecke
Warum ist die Gesamtfläche unter der Kurve immer 1?
In der Wahrscheinlichkeitstheorie muss die Summe aller möglichen Ergebnisse 100% (oder 1.0) ergeben. Die PDF ist so normiert, dass das Integral von $-\infty$ bis $+\infty$ genau 1 ergibt.
Kann ich einen negativen Z-Wert haben?
Ja! Ein negativer Z-Wert bedeutet einfach, dass der Datenpunkt unter dem Mittelwert liegt.
Referenzen
- Gauss, C. F. (1809). Theoria motus corporum coelestium.
- Moore, D. S., & McCabe, G. P. (2003). Introduction to the Practice of Statistics.
Finden Sie Ihre Wahrscheinlichkeit
Geben Sie Mittelwert, SD und X ein, um Z-Wert und Fläche sofort zu berechnen.
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