MAD Rechner
Mittlere Absolute Abweichung (Mean Absolute Deviation)
[Image of mean absolute deviation]
$$ \text{Datensatz} = \{ … \} $$
Datensatz (durch Komma getrennt)
1
2
3
+
–
,
4
5
6
*
^
.
7
8
9
0
LÖSCHEN
Mittlere Absolute Abweichung
Visualisierung der Abweichung
Detaillierte Lösung
👨🏫
Von Prof. David Anderson
Statistik-Dozent | 20+ Jahre Erfahrung
"In der Einführungsstatistik haben Studenten oft Schwierigkeiten, die Variabilität zu verstehen. Sie fragen: 'Professor, warum brauchen wir den Absolutwert?' Die mittlere absolute Abweichung (MAD) ist der anschaulichste Weg, die Streuung zu visualisieren, da sie schlicht die durchschnittliche Entfernung zum Zentrum ist. Im Gegensatz zur Standardabweichung verzerrt sie die Daten nicht durch Quadrierung. Ich habe diesen MAD-Rechner entwickelt, damit Sie diese Abstände Schritt für Schritt nachvollziehen und die MAD-Formel endlich meistern können."
Rechner für die mittlere absolute Abweichung (MAD)
Der ultimative Leitfaden zu Variabilität, absoluten Abweichungen & Formeln
Der Rechner für die mittlere absolute Abweichung ist ein leistungsstarkes statistisches Tool zur Messung der Variabilität oder „Streuung“ eines Datensatzes. Er hilft Ihnen, eine grundlegende Frage zu beantworten: „Wie weit ist jeder Datenpunkt im Durchschnitt vom Mittelwert entfernt?“
Um die mittlere absolute Abweichung zu berechnen, müssen wir Absolutwerte verwenden, damit sich negative und positive Abweichungen nicht gegenseitig aufheben. Dieses Tool automatisiert die Mathematik und liefert sofort den Mittelwert, die Abweichungen und den finalen MAD-Wert.
[Image of mean absolute deviation graph]1. Die Formel für die mittlere absolute Abweichung
⚠️ Klarstellung: Arithmetisches Mittel vs. Median MAD
Es gibt zwei gängige Arten von „MAD“ in der Statistik.
1. Mittlere absolute Abweichung: Verwendet das Mittel ($\mu$). (Dieser Rechner)
2. Median-Abweichung: Verwendet den Median. (Wird für robuste Statistiken/Ausreißer genutzt).
Wenn Ihre Aufgabe nach der „mittleren absoluten Abweichung“ fragt, sind Sie hier genau richtig.
Die Formel für die MAD berechnet sich aus der Summe der absoluten Differenzen geteilt durch die Anzahl ($n$).
MAD-Formel
$$ \text{MAD} = \frac{\sum |x_i - \mu|}{n} $$
Dabei ist $x_i$ jeder einzelne Datenpunkt, $\mu$ der Mittelwert und $n$ die Gesamtzahl der Werte.
2. Berechnung der MAD (Schritt für Schritt)
Die Nutzung unseres MAD-Rechners mit Rechenweg ist einfach, aber das Verständnis der manuellen Methode ist entscheidend für Prüfungen. Hier ist der Algorithmus:
Schritt 1
Mittelwert berechnen ($\mu$)
Addieren Sie alle Datenpunkte und teilen Sie durch die Anzahl ($n$).
Beispiel: $\{2, 4\}$ $\rightarrow$ Mittelwert = 3.
Beispiel: $\{2, 4\}$ $\rightarrow$ Mittelwert = 3.
Schritt 2
Absolute Abweichungen finden
Subtrahieren Sie den Mittelwert von jeder Zahl und bilden Sie den Betrag (Absolutwert).
$|2 - 3| = 1$, $|4 - 3| = 1$.
$|2 - 3| = 1$, $|4 - 3| = 1$.
Schritt 3
Durchschnitt berechnen
Summieren Sie die absoluten Abweichungen aus Schritt 2 und teilen Sie durch $n$.
$(1 + 1) / 2 = 1$. Die MAD ist 1.
$(1 + 1) / 2 = 1$. Die MAD ist 1.
3. Experten-Einblick: Warum der Absolutwert?
Eine häufige Frage lautet: „Warum brauchen wir überhaupt Betragsstriche?“
Der Mittelwert ist der Schwerpunkt der Daten. Wenn Sie die Abweichungen ohne Absolutwerte summieren, heben die negativen ($x < \mu$) die positiven ($x > \mu$) exakt auf.
$$ \sum (x_i - \mu) = 0 $$
(Ohne Absolutwert ist die Summe IMMER Null!)
(Ohne Absolutwert ist die Summe IMMER Null!)
Durch die MAD-Formel erzwingen wir, dass alle Abstände positiv sind, was uns erlaubt, die wahre Streuung zu messen.
4. Beispielrechnung: Die Tabellenmethode
Ich empfehle eine „3-Spalten-Tabelle“, um Fehler zu vermeiden. Berechnen wir die MAD für diesen Datensatz: $\{3, 6, 6, 7, 8, 11, 15, 16\}$.
Schritt A: Mittelwert finden
Summe = 72, Anzahl = 8.
Mittelwert ($\mu$) = $72 / 8 = 9$.
| Datenpunkt ($x$) | Berechnung ($x - \mu$) | Absol. Abweichung ($|x - \mu|$) |
|---|---|---|
| 3 | $3 - 9 = -6$ | 6 |
| 6 | $6 - 9 = -3$ | 3 |
| 6 | $6 - 9 = -3$ | 3 |
| 7 | $7 - 9 = -2$ | 2 |
| 8 | $8 - 9 = -1$ | 1 |
| 11 | $11 - 9 = 2$ | 2 |
| 15 | $15 - 9 = 6$ | 6 |
| 16 | $16 - 9 = 7$ | 7 |
| Gesamt | Summe = 0 (Check!) | Summe = 30 |
Schritt B: Finale Berechnung
$$ \text{MAD} = \frac{30}{8} = 3,75 $$
5. MAD vs. Standardabweichung
Warum sollte man die MAD berechnen anstatt der Standardabweichung?
| Merkmal | Mittlere abs. Abweichung (MAD) | Standardabweichung ($\sigma$) |
|---|---|---|
| Berechnung | Nutzt Betrag $|x|$ | Nutzt Quadrate $(x)^2$ |
| Empfindlichkeit | Weniger anfällig für Ausreißer | Sehr anfällig (Quadrate verstärken Fehler) |
| Mathematik | Nicht differenzierbar bei 0 | Differenzierbar (Besser für Analysis) |
| Interpretation | „Durchschn. Abstand“ (Intuitiv) | Abstrakter Wert |
6. Praxisanwendungen
📉 Supply Chain & Prognosen
In der Wirtschaft wird die MAD oft als Prognosefehler bezeichnet. Wenn eine Firma 100 Einheiten plant, aber 110 verkauft, ist die Abweichung 10. Die MAD hilft Managern zu verstehen, wie verlässlich ihre Vorhersagen sind.
💰 Investmentrisiko
Investoren nutzen die MAD zur Messung der Volatilität. Da sie extreme Kurssprünge nicht so stark gewichtet wie die Standardabweichung, bietet sie eine „realistischere“ Erwartung der täglichen Schwankungen.
7. Häufige Fehler
- ❌ Absolutwert vergessen: $-6$ als $-6$ statt $6$ behandeln. Das macht die Summe zunichte.
- ❌ Teilen durch $(n-1)$: Das macht man bei der Stichprobenvarianz. Bei der MAD immer durch $n$ teilen.
8. FAQ-Ecke des Professors
Wie hängen MAD und Standardabweichung zusammen?
Ein Profi-Tipp: Bei einer perfekten Normalverteilung ist die Standardabweichung ($\sigma$) etwa 1,25-mal größer als die MAD.
$$ \sigma \approx 1,2533 \times \text{MAD} $$
$$ \sigma \approx 1,2533 \times \text{MAD} $$
Kann das Ergebnis negativ sein?
Nein. Da wir den Absolutwert ($|x|$) nutzen, stellt das Ergebnis eine Distanz dar, und Distanzen sind immer positiv oder Null.
Quellen
- Manikandan, S. (2011). "Measures of Dispersion." Journal of Pharmacology and Pharmacotherapeutics.
- Khan Academy. "Mean absolute deviation (MAD)." (Schritt-für-Schritt Logik).
- Wolfram MathWorld. "Mean Deviation." (Mathematische Definitionen).
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