Fibonacci-Rechner
Berechnen Sie Fn und visualisieren Sie die Folge
$$ F_n = ? $$
Position eingeben (n)
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CLR
0
⌫
Fibonacci-Zahl Fn
Analyse der Folge
👨🏫
Von Prof. David Anderson
Mathematik-Professor | 20+ Jahre Erfahrung
„Wenn Mathematik die Sprache des Universums ist, dann ist die Fibonacci-Folge ihr elegantestes Gedicht. Sie ist nicht bloß eine Liste von Zahlen; sie ist der Effizienz-Algorithmus der Natur. Von der Spirale einer fernen Galaxie bis zur Anordnung der Samen in einer Sonnenblume in Ihrem Garten – dieser Code $F_n$ taucht überall auf. Heute gehen wir über einfache Addition hinaus; wir erkunden die tiefe Verbindung zum Goldenen Schnitt ($\phi$) und der Binet-Formel.“
Fibonacci-Rechner: Folge generieren & Goldenen Schnitt ($\phi$) berechnen
Erzeugen Sie die Sequenz und berechnen Sie die Konvergenz zum Goldenen Schnitt
Geben Sie die Position ($n$) zur Berechnung ein:
1. Ursprung: Das Kaninchenproblem von 1202
Obwohl die Folge indischen Mathematikern bereits im 6. Jahrhundert bekannt war (im Zusammenhang mit der Sanskrit-Metrik), wurde sie im Westen durch Leonardo von Pisa, historisch bekannt als Fibonacci, eingeführt. In seinem wegweisenden Buch Liber Abaci (1202) stellte er ein Problem zum Wachstum einer Kaninchenpopulation vor:
🐇 Das Gedankenexperiment:
- Beginne mit einem Paar junger Kaninchen (Monat 0).
- Kaninchen benötigen einen Monat, um geschlechtsreif zu werden.
- Sobald sie reif sind, bringt jedes Paar jeden Monat ein neues Paar zur Welt.
- Kaninchen sterben nie.
Dies ergibt die Folge:
Monat 1: 1 Paar (Nachwuchs)
Monat 2: 1 Paar (erwachsen)
Monat 3: 2 Paare (1 erwachsen + 1 Nachwuchs)
Monat 4: 3 Paare (2 erwachsen + 1 Nachwuchs)
Monat 5: 5 Paare…
2. Der mathematische Motor
A. Die Rekursionsformel
Die Definition besticht durch ihre Einfachheit. Jede Zahl ist die Summe der beiden vorhergehenden.
$$ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} $$
Mit den Startwerten $F_0 = 0, F_1 = 1$
Mit den Startwerten $F_0 = 0, F_1 = 1$
B. Die Binet-Formel (Die „geschlossene Form“)
Was, wenn Sie $F_{100}$ finden müssen, ohne die vorherigen 99 Zahlen zu berechnen? Jacques Philippe Marie Binet leitete 1843 einen geschlossenen Ausdruck her. Er verbindet ganze Zahlen mit irrationalen Zahlen:
$$ F_n = \frac{\phi^n – (1-\phi)^n}{\sqrt{5}} $$
Wobei $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618$
Wobei $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618$
Dies ist verblüffend, da das Ergebnis immer eine exakte ganze Zahl ist, obwohl die Formel die Wurzel aus 5 (eine irrationale Zahl) enthält.
3. Die Verbindung zum Goldenen Schnitt ($\phi$)
Die Fibonacci-Folge ist im Grunde eine Annäherung an den Goldenen Schnitt. Je weiter man in der Folge fortschreitet, desto mehr nähert sich das Verhältnis benachbarter Zahlen dem Wert $\phi$ an.
| Berechnung | Ergebnis | Abweichung von $\phi$ |
|---|---|---|
| $3 / 2$ | 1,50000 | -7,3 % |
| $8 / 5$ | 1,60000 | -1,1 % |
| $55 / 34$ | 1,61765 | -0,02 % |
| $\phi$ (Idealwert) | 1,61803… | 0 % |
4. Fibonacci in der Informatik
Für Programmierer ist die Berechnung von Fibonacci-Zahlen der klassische Test für die Effizienz von Algorithmen.
Die Rekursionsfalle ($O(2^n)$)
Eine naive rekursive Funktion `fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)` ist katastrophal. Um $F_{50}$ zu berechnen, führt der Computer Milliarden redundanter Berechnungen durch.
Dynamische Programmierung ($O(n)$)
Indem wir uns die vorherigen Ergebnisse „merken“ (Memoisation), reduzieren wir die Komplexität auf lineare Zeit. So arbeitet auch der obige Rechner blitzschnell.
Matrix-Exponentiation ($O(\log n)$)
Um $F_{1.000.000}$ zu finden, nutzen wir die Lineare Algebra:
$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix} $$
5. Natur, Kunst & häufige Mythen
🌻 Realität: Phyllotaxis (Blattstellung)
Pflanzen wollen die Sonneneinstrahlung maximieren. Durch die Anordnung von Blättern im Winkel von etwa $137,5^\circ$ (dem Goldenen Winkel) stellen sie sicher, dass kein Blatt ein anderes vollständig beschattet. Dieser Winkel leitet sich von $\phi$ ab. Deshalb findet man Fibonacci-Zahlen in den Spiralen von Sonnenblumen (34/55 Spiralen) oder Tannenzapfen (8/13 Spiralen).
🚫 Mythos: Die Nautilus-Schale
Korrektur des Professors: Obwohl Nautilus-Schalen tatsächlich logarithmische Spiralen sind, entsprechen sie selten den Proportionen des Goldenen Schnitts ($1,618$). Ihr Wachstumsverhältnis liegt meist bei etwa $1,3$. Nicht jede Spirale in der Natur ist eine Fibonacci-Spirale!
Lucas-Zahlen: Die verwandte Folge
Es gibt eine Geschwisterfolge namens Lucas-Zahlen ($L_n$). Sie folgen derselben Regel ($L_n = L_{n-1} + L_{n-2}$), beginnen aber mit 2 und 1 statt 0 und 1.
Folge: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18…
Erstaunlicherweise gilt: $L_n = F_{n-1} + F_{n+1}$.
6. FAQ-Ecke des Professors
Was ist der Satz von Zeckendorf?
Es ist ein faszinierendes Theorem, das besagt, dass jede positive ganze Zahl eindeutig als Summe von nicht aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen dargestellt werden kann. Beispiel: $100 = 89 + 8 + 3$.
Was sind Pisano-Perioden?
Wenn man die Fibonacci-Folge modulo $m$ betrachtet (den Rest der Division durch $m$), wiederholt sich die Folge irgendwann. Die Länge dieses Zyklus nennt man Pisano-Periode, bezeichnet als $\pi(m)$.
Warum nutzen Trader Fibonacci-Zahlen?
Trader nutzen „Fibonacci-Retracements“ (23,6 %, 38,2 %, 61,8 %), um Unterstützungsniveaus von Aktien vorherzusagen. Dabei leitet sich 23,6 % aus $F_n / F_{n+3}$ und 38,2 % aus $F_n / F_{n+2}$ ab.
Ist -1 eine Fibonacci-Zahl?
Die Folge kann auf negative Indizes erweitert werden ($F_{-n}$). Die Beziehung lautet $F_{-n} = (-1)^{n+1}F_n$. Also ja, die Folge erstreckt sich unendlich in beide Richtungen!
Referenzen
- Fibonacci (Leonardo von Pisa). Liber Abaci. 1202.
- Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming, Vol 1. Addison-Wesley.
- Livio, Mario. The Golden Ratio: The Story of Phi. Broadway Books, 2002.
- Vorobiev, N. N. Fibonacci Numbers. Birkhäuser Basel, 2002.
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