Doppelintegral-Rechner
Berechnen Sie $\int \int f(x,y) \, dA$ Schritt für Schritt
$$ \int_{0}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} (x^2 + y^2) \, dy \, dx $$
∫
∫
dy dx
x
y
^
(
)
√
sin
cos
e
+
–
*
1
2
3
/
π
LÖSCHEN
Endergebnis
Integrationsbereich (Ebene D)
Schritt-für-Schritt Lösung
👨🏫
Von Prof. David Anderson
Professor für Mathematik | 20+ Jahre Erfahrung
„In der Analysis 2 ist die Integration nur der Anfang. Die wahre Herausforderung bei Doppelintegralen ist die Geometrie. Das Aufstellen der Grenzen ($dy dx$ vs. $dx dy$) und die Umwandlung in Polarkoordinaten sind die Punkte, an denen die meisten scheitern. Ich habe diesen Doppelintegral-Rechner entwickelt, um das Integrationsgebiet $D$ zu visualisieren und die iterierte Integration für Sie zu übernehmen.“
Der ultimative Guide für Doppelintegrale: Kartesisch, Polar und Reihenfolge ändern
So nutzen Sie den Rechner für Volumen, Flächeninhalt und Masse
Ein Doppelintegral ($\iint_D f(x,y) dA$) erweitert das Konzept der Integration auf Funktionen mit zwei Variablen. Es berechnet das Volumen unter der Fläche $z = f(x, y)$ über einem spezifischen Gebiet $D$ in der xy-Ebene.
Das Lösen erfordert zwei Kernkompetenzen: Das Aufstellen von iterierten Integralen (Typ I vs. Typ II Gebiete) und das Wissen, wann Polarkoordinaten effizienter sind. Unser Rechner beherrscht beide Formen automatisch.
1. Notation & der Satz von Fubini
Wir werten ein Doppelintegral aus, indem wir nacheinander zwei Einzelintegrationen durchführen. Dies nennt man ein iteriertes Integral.
Satz von Fubini (Kartesisch)
$$ \iint_D f(x,y) \, dA = \int_{a}^{b} \left[ \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \, dy \right] dx $$
Innen: Integration nach $y$ ($x$ als Konstante behandeln).
Außen: Integration nach $x$ (nur noch Konstanten).
Außen: Integration nach $x$ (nur noch Konstanten).
2. Wahl des Koordinatensystems
Das Geheimnis einfacher Berechnungen liegt im richtigen Koordinatensystem für Ihr Gebiet $D$.
Methode A
Kartesisch (Rechteckig)
Ideal für Gebiete, die durch vertikale/horizontale Linien oder Funktionen wie $y=x^2$ begrenzt sind.
$dA = dy \, dx$ ODER $dx \, dy$
Nutzen Sie Typ I (vertikale Pfeile) oder Typ II (horizontale Pfeile).
Methode B
Polarkoordinaten
Bestens geeignet für Kreise, Ringe oder Kardioide.
$dA = r \, dr \, d\theta$
Jacobi-Korrektur: Vergessen Sie niemals, mit $r$ zu multiplizieren!
3. Schritt-für-Schritt Integrations-Protokoll
Die manuelle Berechnung erfordert strikte Einhaltung der partiellen Integration. Hier ist der Ablauf unseres Rechners:
Schritt 1
Grenzen setzen
Skizzieren Sie das Gebiet $D$. Bestimmen Sie, ob Sie zuerst nach $y$ oder $x$ integrieren. Die äußeren Grenzen MÜSSEN Konstanten sein.
Schritt 2
Inneres Integral
Integrieren Sie die Funktion nach der inneren Variable. Behandeln Sie die andere Variable als Konstante (Partielle Integration).
Schritt 3
Äußeres Integral
Setzen Sie die Ergebnisse aus Schritt 2 ein. Sie sollten nun eine Funktion von nur einer Variable haben. Integrieren Sie normal zum Endwert.
4. Master Class: Rechenbeispiele
Typ A: Kartesisches Volumen
Typ I Gebiet
Berechne $\int_0^2 \int_0^x (x + 2y) \, dy \, dx$.
1. Inneres Integral (nach y)
$$ \int_0^x (x + 2y) dy = [xy + y^2]_0^x $$
2. Grenzen einsetzen
$$ (x(x) + x^2) – (0) = 2x^2 $$
3. Äußeres Integral (nach x)
$$ \int_0^2 2x^2 dx = [\frac{2}{3}x^3]_0^2 = \frac{16}{3} $$
5. FAQ: Häufige Fragen
Wann sollte ich Polarkoordinaten nutzen?
Immer wenn das Gebiet $D$ kreisförmig ist (Kreis, Ring, Sektor) ODER wenn der Integrand Terme wie $x^2 + y^2$ enthält.
Was ist die Jacobi-Determinante?
Es ist der Korrekturfaktor beim Koordinatenwechsel. Bei Polarkoordinaten ist dieser Faktor $r$. Deshalb wird $dA$ zu $r \, dr \, d\theta$.
Doppelintegrale lösen
Probleme mit den Grenzen oder Polaren? Erhalten Sie jetzt Schritt-für-Schritt-Lösungen.
Jetzt berechnen