Calculadora de Homotecia
Dilata un punto $(x, y)$ con un factor de escala $k$ desde un centro $(c_x, c_y)$
$$ D_k(x, y) \rightarrow (x’, y’) $$
Punto X
Punto Y
Factor (k)
Centro X
Centro Y
1
2
3
+
–
/
4
5
6
*
^
√
7
8
9
0
.
CLR
Nueva Coordenada (Imagen)
Visualizador de la Transformación
Solución Detallada
👨🏫
Por el Prof. David Anderson
Instructor Senior de Matemáticas | +20 Años de Experiencia
«En las clases de geometría, las transformaciones son un pilar fundamental, y la homotecia es a menudo la que más confunde a los estudiantes, especialmente cuando el centro de dilatación se desplaza del origen o cuando interviene un factor de escala negativo. He diseñado esta Calculadora de Homotecias no solo para mostrar las nuevas coordenadas, sino para visualizar los ‘rayos’ de expansión y que puedas entender intuitivamente la lógica tras las transformaciones geométricas.»
La guía definitiva sobre homotecias geométricas: Fórmulas, factores de escala y coordenadas
Manual completo para Geometría de Bachillerato y preparación universitaria
Bienvenido a la guía definitiva sobre la homotecia geométrica. A diferencia de las transformaciones que solo desplazan (traslación), giran (rotación) o voltean (reflexión) una forma, una homotecia cambia el tamaño de la figura manteniendo intacta su forma. Esto crea lo que los matemáticos llaman figuras semejantes. Ya sea que se trate de una ampliación o una reducción, el cálculo depende de dos factores: la razón o factor de escala ($k$) y el centro de homotecia.
⚠️ Nota de terminología
Nota: En el contexto matemático de España y Latinoamérica, el término técnico para la dilatación geométrica es Homotecia.
• Homotecia (Geometría): Transformación que varía el tamaño de una figura.
• Razón de homotecia ($k$): Es el factor por el cual se multiplican las distancias desde el centro.
Si eres un estudiante resolviendo problemas de geometría de semejanza, estás en el lugar correcto.
1. Las fórmulas de la homotecia: Origen vs. Centro desplazado
El error más común es aplicar la «Fórmula del Origen» cuando el centro de homotecia no es $(0,0)$. Debemos distinguir entre ambos escenarios para usar correctamente la Calculadora de Homotecias.
Escenario A: El centro es el origen (0,0)
$$ P'(kx, ky) $$
Simplemente multiplica las coordenadas por el factor de escala $k$.
Escenario B: El centro es $(a, b)$
$$ x’ = a + k(x – a) $$
$$ y’ = b + k(y – b) $$
Resta el centro $\to$ Escala $\to$ Suma el centro de nuevo.
Estrategia del Prof. Anderson
Piensa en el Escenario B como una maniobra de «Desplazar-Escalar-Restaurar».
1. Desplaza el mundo para que el centro $(a,b)$ se convierta en el origen.
2. Escala el punto usando la fórmula sencilla.
3. Restaura la posición original sumando las coordenadas del centro.
2. Análisis profundo: Entender el factor de escala ($k$)
La razón de homotecia ($k$) determina el destino de tu forma. Nos indica cuánto crecerá o encogerá la pre-imagen (original) para convertirse en la imagen (resultado).
[Image of a normal distribution curve showing the mean and standard deviation area]| Valor de $k$ | Tipo de Homotecia | Efecto Visual |
|---|---|---|
| $k > 1$ | Ampliación | La forma se hace más grande y se aleja del centro. |
| $k = 1$ | Identidad | Sin cambios. La forma permanece exactamente igual. |
| $0 < k < 1$ | Reducción | La forma se hace más pequeña y se acerca al centro. |
| $k < 0$ (Negativo) | Inversa (Rotación + Escala) | La forma se invierte 180° respecto al centro Y escala por $|k|$. |
3. Paso a paso: Cómo dilatar un triángulo
A menudo, los ejercicios piden «Dilatar el triángulo ABC». Para hacerlo, simplemente aplica la lógica de nuestra calculadora a cada vértice ($A, B, C$) individualmente. Esto funciona para cualquier polígono en el plano cartesiano.
Paso 1
Listar coordenadas
Anota las $(x, y)$ de los tres puntos del triángulo.
Ejemplo: $A(2,4), B(4,4), C(3,6)$.
Ejemplo: $A(2,4), B(4,4), C(3,6)$.
Paso 2
Aplicar fórmula
Multiplica cada par por la razón $k$ (si el centro es el origen).
Si $k=2$: $A'(4,8), B'(8,8), C'(6,12)$.
Si $k=2$: $A'(4,8), B'(8,8), C'(6,12)$.
Paso 3
Verificar distancias
La longitud de los lados del nuevo triángulo debe ser $k$ veces la del original.
Longitud $A’B’ = k \cdot \text{Longitud } AB$
4. Avanzado: Razones de escala negativas
¿Qué sucede si $k = -2$? Esta es una de las preguntas trampa favoritas en los exámenes. Una homotecia inversa realiza dos acciones simultáneamente.
Primero, crea una simetría central (rotación de 180°). La imagen aparece en el lado opuesto del centro de homotecia. Segundo, la distancia se determina por el valor absoluto $|k|$.
Ejemplo: Punto $P(2, 3)$, Centro $(0,0)$, $k = -1$.
El nuevo punto es $P'(-2, -3)$. Es, en efecto, una rotación de 180 grados sin cambio de tamaño.
5. Aplicaciones en el mundo real
- 📸 Fotografía y Diseño Gráfico: Cambiar el tamaño de una imagen en pantalla es una homotecia. El «centro» suele ser el punto de anclaje desde el que arrastras.
- 🗺️ Cartografía (Mapas): Crear una sección ampliada de un mapa es una dilatación. La escala del mapa (ej. 1:1000) es literalmente la inversa del factor $k$.
6. Rincón de práctica: Pon a prueba tu conocimiento
📝 Problema de práctica
Problema: Aplica una homotecia al Punto $M(5, -2)$ con una razón $k = 3$ y el centro en $C(1, 2)$. Halla $M’$.
Solución:
1. Distancia horizontal: $5 – 1 = 4$. Escala: $4 \times 3 = 12$. Suma al centro: $1 + 12 = 13$. ($x’ = 13$)
2. Distancia vertical: $-2 – 2 = -4$. Escala: $-4 \times 3 = -12$. Suma al centro: $2 + (-12) = -10$. ($y’ = -10$)
Respuesta: $M'(13, -10)$.
7. Preguntas frecuentes del Profesor
¿Puedo dilatar un segmento de recta?
Sí. Para dilatar un segmento, simplemente dilata sus dos puntos extremos. El nuevo segmento será paralelo al original (a menos que el centro esté en la propia recta) y su longitud será multiplicada por $k$.
¿Qué pasa si el centro de homotecia está SOBRE la figura?
¡No hay problema! Los puntos que coinciden exactamente con el centro de homotecia no se mueven (son «puntos invariantes»). El resto de la forma se expande o encoge alrededor de ese punto fijo.
Referencias y lecturas adicionales
- Jurgensen, R. (2000). Geometría. McDougal Littell. (Capítulo 9: Transformaciones).
- Wolfram MathWorld. «Homothety». (El término matemático formal para la dilatación).
Resuelve tu problema de coordenadas
Deja de pelearte con la fórmula $x’ = a + k(x-a)$. Introduce tus puntos arriba y visualiza la transformación geométrica al instante.
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