Was ist der Unterschied zwischen ggT und GCD?

Mathematisch gesehen sind sie identisch. ggT (größter gemeinsamer Teiler) ist der Standardbegriff im Deutschen. GCD (Greatest Common Divisor) ist der entsprechende englische Fachbegriff, der häufig in der Informatik verwendet wird.

Kann der ggT negativ sein?

Nein. Per Definition ist der 'größte' gemeinsame Teiler immer eine positive ganze Zahl, selbst wenn die Eingabezahlen negativ sind. Zum Beispiel ist der ggT von -12 und -18 gleich 6.

Was ist der ggT einer Zahl und 0?

Der ggT einer beliebigen Zahl 'n' (außer Null) und 0 ist der Betrag von 'n' (|n|). Da 0 durch jede Zahl teilbar ist, ist der größte gemeinsame Faktor 'n' selbst.

Wie findet man den ggT von 3 Zahlen?

Um den ggT(a, b, c) zu finden, berechnet man zuerst den ggT(a, b). Das Ergebnis nennen wir 'x'. Dann berechnet man den ggT(x, c). Das Endergebnis ist der ggT aller drei Zahlen.

ggT-Rechner

Größter gemeinsamer Teiler (Euklidischer Algorithmus)

$$ \gcd(A, B) = ? $$

Zahl A

Zahl B

CLR

WEITER

Größter gemeinsamer Teiler

Euklidische Parkettierung (Geometrische Ansicht)

Schritte des Euklidischen Algorithmus

👨‍🏫

Von Prof. David Anderson

Mathematik-Professor | 20+ Jahre Erfahrung

"Willkommen zu einem der am unterschiedlichsten benannten Konzepte der Mathematik! In den USA heißt es GCF, in Großbritannien HCF, und im deutschen Sprachraum sagen wir ggT. Hier ist das Geheimnis: Es ist alles dasselbe. Heute zeige ich Ihnen nicht nur die Lösung, sondern die faszinierende Logik dahinter – mithilfe von Venn-Diagrammen und dem antiken Euklidischen Algorithmus."

ggT-Rechner (größter gemeinsamer Teiler)

Berechnen Sie den ggT und das kgV schrittweise mit Lösungsweg

1. ggT vs. GCD vs. HCF: Das Namensspiel

Mathematik ist eine universelle Sprache, aber die Dialekte unterscheiden sich. Je nachdem, wo Sie gelernt haben, hat dieses Konzept einen anderen Namen.

ggT Größter gemeinsamer Teiler

Gebräuchlich in: 🇩🇪 Deutschland, 🇦🇹 Österreich, 🇨🇭 Schweiz

GCF / HCF Greatest Common Factor

Gebräuchlich in: 🇺🇸 USA, 🇬🇧 UK, 🇮🇳 Indien

GCD Greatest Common Divisor

Gebräuchlich in: 💻 Informatik, Höhere Mathematik

2. Drei Methoden, um den ggT zu finden

Es gibt nicht nur einen Weg zum Ziel. Je nach Größe der Zahlen sind unterschiedliche Methoden schneller oder anschaulicher.

Methode A: Die Listen-Methode (Für kleine Zahlen)

Dies ist die klassische Schulmethode. Man listet alle Teiler auf und kreist den größten Treffer ein.
Beispiel ggT(12, 18):
• Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
• Teiler von 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
• Gemeinsame Teiler: 1, 2, 3, 6
• Größter: 6

Methode B: Primfaktorzerlegung (Venn-Diagramm)

Wie im obigen Rechner gezeigt, zerlegt man Zahlen in ihre „Atome“ (Primzahlen) und multipliziert die gemeinsamen Atome. Dies hilft hervorragend dabei zu verstehen, warum der ggT funktioniert. Bei drei Zahlen sucht man einfach die Schnittmenge von drei Kreisen.

Methode C: Euklidischer Algorithmus (Für große Zahlen)

Was, wenn Sie den ggT von 1.234.567 und 765.432 benötigen? Hier hilft Euklid (ca. 300 v. Chr.).
Prinzip: $ggT(a, b) = ggT(b, a \mod b)$.
Man verwandelt ein schwieriges Problem in eine Reihe kleinerer Divisionsaufgaben, bis der Rest 0 ist.

Methode	Beste Anwendung	Vorteile
Listen	Zahlen < 50	Einfach zu visualisieren
Primfaktoren	Zahlen < 1000	Zeigt Verbindung zum kgV
Euklid	Jede Größe	Extrem schnell, Standard für Computer

3. Eigenschaften des ggT

Diese Eigenschaften helfen Ihnen, Probleme schneller zu lösen, ohne immer zum Taschenrechner greifen zu müssen.

Kommutativgesetz: $ggT(a, b) = ggT(b, a)$. Die Reihenfolge spielt keine Rolle.
Assoziativgesetz: $ggT(a, b, c) = ggT(ggT(a, b), c)$. Berechnen Sie erst den ggT der ersten zwei, dann das Ergebnis mit der dritten Zahl.
Vielfache: Wenn $a$ ein Teiler von $b$ ist (z. B. 4 und 8), dann ist $ggT(a, b) = a$.
Primzahlen: Wenn $a$ und $b$ verschiedene Primzahlen sind, ist ihr ggT immer 1.

4. Die geheime Verbindung: ggT und kgV

Wenn Sie den ggT haben, ist das **kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)** nur noch einen Schritt entfernt. Beide sind über diese elegante Formel verbunden:

Die Produktformel

$$ ggT(a, b) \times kgV(a, b) = |a \times b| $$

Das bedeutet: Das Produkt aus ggT und kgV entspricht dem Produkt der beiden Zahlen selbst.

5. Textaufgaben aus der Praxis

Der ggT ist nicht nur Theorie. Er begegnet uns beim Bauen, Designen und sogar bei der Partyplanung.

🏠 Szenario 1: Fliesen legen

Ein Raum ist 240 cm mal 360 cm groß. Sie möchten ihn mit möglichst großen quadratischen Fliesen auslegen, ohne diese schneiden zu müssen. Welche Fliesengröße wählen Sie?
Lösung: Finden Sie den $ggT(240, 360)$.
• $360 = 240 \times 1 + 120$
• $240 = 120 \times 2 + 0$
Antwort: 120 cm Fliesen.

🍎 Szenario 2: Gruppen einteilen

Ein Lehrer hat 24 Mädchen und 32 Jungen. Er möchte Gruppen bilden, in denen jeweils die gleiche Anzahl an Mädchen und Jungen ist, ohne dass jemand übrig bleibt. Was ist die größtmögliche Anzahl an Gruppen?
Lösung: Finden Sie den $ggT(24, 32)$.
Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Teiler von 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32
Antwort: 8 Gruppen (jeweise 3 Mädchen und 4 Jungen pro Gruppe).

6. FAQ-Ecke des Professors

F: Kann der ggT 1 sein?

Ja. Wenn der ggT 1 ist, nennt man die Zahlen teilerfremd (im Englischen: co-prime). Beispiel: 8 und 9 haben außer der 1 keine gemeinsamen Teiler.

F: Wie finde ich den ggT von 3 Zahlen?

Berechnen Sie zuerst den ggT der ersten beiden Zahlen. Nutzen Sie dieses Ergebnis, um den ggT mit der dritten Zahl zu bestimmen.
Formel: $ggT(a, b, c) = ggT(ggT(a, b), c)$.

F: Ist der ggT immer kleiner als die Zahlen?

Er ist immer kleiner oder gleich der kleinsten Zahl in der Menge. Bei 12 und 24 ist der ggT zum Beispiel 12.

Referenzen

Euklid. Die Elemente (Buch VII). ca. 300 v. Chr.
Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming. Addison-Wesley.
Beutelspacher, A. (2014). Zahlen: Geschichte, Gesetze, Geheimnisse. C.H. Beck.

Bereit zur Berechnung?

Geben Sie oben Ihre Zahlen ein, um den ggT und das kgV sofort mit Lösungsweg zu ermitteln.

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